OPERASI HIMPUNAN

A. Kompetensi Dasar


3.4 Menjelaskan himpunan, himpunan bagian, himpunan semesta, himpunan kosong, komplemen himpunan dan melakukan operasi biner   pada himpunan menggunakan masalah kontekstual

4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan himpunan, himpunan bagian, himpunan semesta, himpunan    kosong,   komplemen himpunan dan operasi biner pada himpunan

B. Tujuan 

Setelah pembelajaran siswa diharapkan mampu: 

1.Menentukan hasil  operasi  pada himpunan 

2.Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan operasi  pada himpunan

C.Materi Prasyarat

1.Konsep himpunan

2.Menyatakan dan menyajikan himpunan

3.Diagram Venn

4.Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas Himpunan A adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan A dan dinotasikan dengan n(A). 

Contoh: misalnya A = { ayam, bebek, angsa, bangau}, maka n(A) = 4

5.Himpunan Bagian

Himpunan bagian dinotasikan dengan ⊂. 

Cntoh:

Perhatikan diagram Venn berikut.

Gbr. 1

Pada diagram Venn diketahui S himpunan semesta,  S = {1, 2, 3, ..., 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3}, dan C = {6, 7, 8}. Dari diagram Venn diperoleh: B ⊂ A, B ⊂S,  A ⊂ S, C ⊂ S, C A.

6.Kesamaan Dua Himpunan

Himpunan A dan B disebut sama jika anggota dan banyak anggotanya sama.

Contoh:

A = {h, a, r, u, m}, B = {m. u, r, a, h}, karena B ⊂ A dan A ⊂ B maka A = B, dan n(A) = n(B). Karena n(A) = n(B) maka himpunan A dan himpunan B ekuivalen.

D.Materi Pokok

Operasi-operasi himpunan itu mencakup: (1) Irisan, (2) Gabungan, (3) Selisih, dan (4) Komplemen. Perhatikan tabel 1 berikut:

                                                                 Tabel. 1

1. Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang   merupakan  anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∩ B. Irisan dua himpunan dinotasikan A ∩ B = {x | x ∈ A dan  x ∈ B}.

2. Misalkan S adalah himpunan semesta, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B. Gabungan dua himpunan ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Contoh Soal :
1. Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {bilangan prima kurang dari 10}, dan C = { x | 7 ≤ x ≤ 11 x ∈ Bilangan Asli}.
a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.
b. Tentukan anggota dari dan gambarlah diagram Venn dari
1) A ∩ B
2) A ∩ C
3) B ∩ C
4) A ∩ B ∩ C 
Penyelesaian :
a. Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, dan C = { 7, 8, 9, 10, 11}.

Cara mengisi lingkaran (himpunannya) yang pertama diisi adalah irisan dari ketiga himpunan  A, B, dan C yaitu {7}, kemudian irisan himpunan A dan B, B dan C, A dan C, terakhir anggota himpunan S yang belum tertulis, dituliskan di luar ketiga lingkaran.
b.
1) A ∩ B = {3, 5, 7}
2) A ∩ C = {7, 9}
3) B ∩ C = {7}
4) A ∩ B ∩ C = {7}
2. Dalam suatu kelas terdapat 35 siswa. Di kelas tersebut ada 22 siswa suka
makan soto, 15 siswa suka makan bakso, dan 3 siswa tidak suka keduanya.
a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas
b. Berapa siswa yang suka makan soto dan bakso?
Penyelesaian: 
Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas n(S) = 35.
Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang makan soto, maka n(A) = 22.
Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang suka makan bakso, maka n(B)= 15.
Misalkan C adalah himpunan siswa yang suka makan soto dan bakso n(C) = x , A ∩ B adalah himpunan siswa senang makan soto dan bakso, maka n(A ∩ B) = x.
Misalkan D adalah himpunan siswa yang tidak suka makan soto dan bakso, maka n(D) = 3.
a. Diagram Venn
b. Banyak siswa yang suka makan soto dan bakso adalah 
n(S) = n(A) – x + n(A ∩ B) + n(B) – x + n(D)
35 = 22 – x + x + 15 – x + 3
35 = 22 + 15 + x + 3
35 = 40 – x
x = 40 – 35
x = 5
Jadi, banyaknya siswa yang suka soto dan bakso adalah 5 siswa. 
Perhatikan tabel.2 berikut
Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.
1. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunanS yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan  dengan Notasi pembentuk himpunan  = {x | x ∈ S tetapi x ∉ A}
2. Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B,   dinotasikan dengan A – B. Notasi pembentuk himpunan A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩  
Contoh 1:
Di wilayah RT 05 ada penduduk yang memelihara hewan ternak. Hewan ternak tersebut antara lain adalah kuda, sapi, kambing, ayam, bebek, kelinci, dan burung. Pak Harno dan Pak Ahmad adalah penduduk RT 05. Pak Harno mempunyai hewan ternak ayam, burung, dan kelinci. Pak Ahmad mempunyai hewan ternak bebek, kambing, dan burung.
a. Tentukan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Harno.
b. Tentukan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Ahmad.
Penyelesaian: 
Misalkan: S adalah himpunan semua hewan ternak yang ada di wilayah RT 05. A adalah himpunan semua hewan milik Pak Harno
B adalah himpunan hewan ternak milik Pak Ahmad Maka himpunan-himpunan itu adalah:
S = {kuda, sapi, kambing, ayam, bebek, kelinci, dan burung}
A = {ayam, burung, dan kelinci}
B = {bebek, kambing, dan burung}
a. Misalkan himpunan hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Harno adalah P. P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu P = { kuda, sapi, kambing, bebek}. Diagram Venn dari himpunan P adalah sebagai berikut
Misalkan Q adalah hewan ternak di wilayah RT 05 yang bukan milik Pak Ahmad. Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu Q = { kuda, sapi, ayam, kelinci }.
Contoh 2:
Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran
matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang
siswa senang pelajaran matematika dan fisika.
a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.
b. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?
c. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?
d. Berapa banyak siswa dalam kelas itu?
Penyelesaian:
Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan.
Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.
Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.
Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25.
Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.
Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.
Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.
A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = 10.
a. Diagram Venn
b. Siswa yang hanya senang pelajaran Matematika 
Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa  yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya. 
 n(A) = n(M) + n(A ∩ B)
30 = n(M) + 10
n(M) = 30 – 10 = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.
c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A ∩ B)
25 = n(F) + 10
n(F) = 25 – 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.
d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar keduaduanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A ∩ B)
= 20 + 15 + 10
= 45
Jadi, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.
Contoh 3:
Di Desa Sabulan yang terletak di pulau Samosir terdapat 100 rumah tangga. Dari jumlah tersebut 60 rumah tangga memelihara ternak ayam, 35 rumah tangga memelihara ternak kambing, 45 rumah tangga memelihara ternak sapi, 15 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak kambing, 5 rumah tangga memelihara ternak kambing dan ternak sapi, 20 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak sapi. Jika 5 rumah tangga memelihara ketiga ternak itu, selesaikanlah permasalahan berikut!
a. Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan di atas.
b. Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam?
c. Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing?
d. Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi?
e. Berapa rumah tangga yang tidak memelihara ternak ketiga-tiganya?

Penyelesaian:
a. Diagram Venn berikut ini menunjukkan ternak penduduk desa Sabulan.

Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam.
Banyak rumah tangga yang memelihara ayam = n(B) + n(D) + n(E) + n(G)
60 = n(B) + 15 + 20 + 5
n(B) = 60 – 40 = 20
Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam adalah 20 rumah tangga.
Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam sebagai berikut.
Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing.
Banyak rumah tangga yang memelihara kambing = n(A) + n(D) + n(F) + n(G)
35 = n(A) + 15 + 5 + 5
n(A) = 35 – 25
= 10
Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing adalah 10 rumah tangga.
Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing sebagai berikut

Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi.
Banyak rumah tangga yang memelihara sapi = n(C) + n(E) + n(F) + n(G)
45 = n(C) + 20 + 5 + 5
n(C) = 45 – 30
= 15
Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi adalah 15 rumah tangga. Diagram Venn banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi sebagai berikut.
Banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi)
n(H) = n(S) – n(A) – n(B) – n(C) + n(D) – n(E) – n(F) – n(G)
n(H) = 100 – 10 – 20 – 15 – 15 – 20 – 5 – 5
n(H) = 100 – 90 = 10
Maka banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi) adalah 10 rumah tangga.
Diagram Venn banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak (ayam, kambing, sapi) sebagai berikut.
E. EVALUASI (TUGAS)

1. Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
C = {3, 5, 7, 9}
Tentukan
a. A ∩ B, AUC, Ac, B – C

b. ∪ (B ∩ C)
c. (A ∩ B) ∩ 
d. (B – C) ∩ A

2. Diketahui n(P) = 28, n(Q) = 32, dan n(P ∩ Q) = 10. Carilah nilai n(P ∪ Q).

3. Sebuah Puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 50 orang, 25 orang menderita penyakit demam berdarah, 15 orang menderita penyakit diare, 10 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare. Berapa orang pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut?

4.  Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang anak. Dari jumlah tersebut,17 orang anak gemar berenang, 19 orang anak gemar bernyanyi, 15 orang anak gemar basket, 10 orang anak gemar berenang dan bernyanyi, 5 orang anak gemar bernyanyi dan basket, 4 orang anak gemar berenang dan basket, dan 3 orang anak gemar ketiga-tiganya.

a) Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.

b) Berapa orang anak yang tidak gemar satupun dari ketiga kegiatan tersebut?

 


Sumber: Buku Matematika SMP/MTs kelas VII Semester I. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan


Jika ada yang masih kurang dipahami materinya silahkan tanyakan di kolom komentar di bawah. InsyaAllah ibu akan jawab.


Selamat Belajar di Rumah.😐😼