RELASI DAN FUNGSI

 RELASI DAN FUNGSI

A. Pengertian Relasi

Untuk memahami tentang fungsi kita harus mengingat kembali tetang relasi. Jika A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi  dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.  Dengan pengertian relasi tersebut maka  setiap dua himpunan baik mempunyai hubungan ataupun tidak adalah relasi. Cara penyajian relasi bisa dengan menggunakan tabel, diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Untuk materi relasi selengkapnya bisa dibaca di sini.

B. Fungsi

1. Pengertian Fungsi

Perhatikan pertanyaan ini. Berapa nomor/ukuran sepatu yang anda gunakan? Berapa nomor sepatu yang adik anda gunakan? Berapa nomor sepatu yang kakak anda gunakan? Berapa nomor sepatu yang ibu anda gunakan? Berapa nomor sepatu yang ayah anda gunakan? Berapa nomor sepatu yang salah satu teman anda gunakan? Tentunya jawaban dari pertanyaan tersebut bisa menghasilkan nomor sepatu yang berbeda semua ataupun bisa sama semua, bisa juga ada yang berbeda dan ada yang sama. Misalkan jawabannya seperti ini, “Saya(misalkan a) menggunakan sepatu nomor 40”, “Adik saya(misalkan b) menggunakan sepatu nomor 38”, “Kakak saya(misalkan c) menggunakan sepatu nomor 43” “Ibu saya(misalkan d) menggunakan sepatu nomor 39”, “Ayah saya(misalkan e) menggunakan sepatu nomor 41”, “Teman saya(misalkan f) menggunakan sepatu nomor 40”. Jika kita perhatikan dari semua jawaban, terdapat dua himpunan yaitu {a, b, c, d, e, f} dan {38, 39, 40, 41, 43} serta aturan yang memasangkan dari himpunan orang {a, b, c, d, e, f} ke himpunan  nomor sepatu {38, 39, 40, 41, 43} yaitu “menggunakan sepatu nomor”. Jika kita misalkan himpunan orang adalah A = {a, b, c, d, e, f} dan himpunan nomor sepatu adalah B = {38, 39, 40, 41, 43}, kita  amati bahwa setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu pasangan di himpunan B. Jika kita nyatakan relasi ini dengan himpunan pasangan berurtan yaitu, {(a, 40), (b, 38), (c, 43), (d, 39), (e, 41), (f, 40)}, dan jika dinatakan dengan diagram panah adalah sebagai berikut. 

Gbr.1

Relasi seperti ini disebut “fungsi”. Pada fungsi ini himpunan A = {a, b, c, d, e, f} disebut domain atau daerah asal, dan himpunan B = {38, 39, 40, 41, 43} disebut kodomain atau daerah kawan, himpunan B ini selain daerah kawan sekaligus disebut range atau daerah hasil karena semua anggota B menjadi pasangan dari anggota A.

Jika relasi/aturannya kita balik dari himpunan B ke himpunan A, maka aturannya menjadi “digunakan oleh”. Nah sekarang kita amati jika relasinya kita balik. Jika kita balik relasinya maka himpunan pertamanya menjadi himpunan B = {38, 39, 40, 41, 43} dan himpunan ke-dua nya menjadi A =  {a, b, c, d, e, f}. Relasi “digunakan oleh” dari himpunan B ke himpunan A ternyata memasangkan  40 ke a dan f. Jika kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan relasi “digunakan oleh” dari himpunan B ke himpunan A yaitu, {(38, b), (39, d), (40, a), (40, f), (41, e), (43, c)}, dan jika dinyatakan dengan diagram panah adalah seperti gambar berikut.

Gbr.2

Relasi seperti ini “bukan fungsi”, karena ada satu anggota himpunan B yang mempunyai dua pasangan di himpunan A yaitu 40 dipasangkan ke a dan f.

Untuk lebih jelas lagi marilah kita lihat contoh-contoh relasi yang merupakan fungsi dan bukan fungsi pada tabel berikut.  Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b}.

Tabel.1

Kita perhatikan contoh fungsi pada tabel. Pada contoh fungsi mulai dari nomor 1 s.d. 8 setiap anggota A selalu dipasangkan dengan tepat satu anggota B. 

Sekarang kita perhatikan pada contoh bukan fungsi:

1. Pada tabel nomor 1, 2, dan 6 ada anggota A yaitu 2 dipasangkan dengan dua anggota B dan         ada satu anggota A yaitu 3 tidak dipasangkan dengan anggota B. 

2. Pada contoh bukan fungsi nomor 3, ada anggota A yaitu 1 dipasangkan dengan dua anggota         B, dan ada satu anggota A yaitu 2 tidak dipasangkan dengan anggota B.

3. Pada contoh bukan fungsi nomor 4, ada anggota A yaitu 2 dipasangkan dengan dua anggota         B, dan satu anggota A yaitu 1 tidak dipasangkan dengan anggota B.

4. Pada contoh bukan fungsi nomor 5, ada anggota A yaitu 2 dipasangkan dengan tiga anggota         B, dan dua anggota A yaitu 1 dan 3 tidak dipasangkan dengan anggota B.

5. Pada contoh bukan fungsi nomor 7, ada anggota A yaitu 3 dipasangkan dengan tiga anggota         B, dan dua anggota A yaitu 1 dan 2 tidak dipasangkan dengan anggota B.

6. Pada contoh bukan fungsi nomor 8, ada anggota A yaitu 3 dipasangkan dengan dua anggota         B, dan ada satu anggota A yaitu 2 tidak dipasangkan dengan anggota B.

Dari uraian contoh fungsi dan bukan fungsi kita dapat mengetahui ciri-ciri dari relasi yang merupakan fungsi atau bukan fungsi. Dari uraian di atas kita bisa menyimpulkan bahwa  fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Kita juga dapat menyimpulkan bahwa setiap fungsi adalah relasi tetapi, tidak setiap relasi adalah fungsi. 

2. Menemukan Rumus Banyak Fungsi/Pemetaan yang Mungkin

Contoh membuat fungsi dari  himpunan A = {1, 2} ke himpunan B = {a, b} yaitu:

{(1, a), (2, a)}, {(1, b), (2, b)}, {(1, a), (2, b)}, dan {(1, b), (2, a)}, dan  jika disajikan dengan diagram panah sebagai berikut. 

                                  (i)                          (ii)                           (iii)                           (iv)

Jadi untuk n(A) = 2 dan n(B) = 2 banyak fungsi yang dapat dibuat ada 4. Pada diagram (i) derah asal(domain) = {1, 2}, daerah kawan(kodomain) = [a, b}, dan daerah hasil(range) = {a}. Pada diagram (ii) derah asal(domain) = {1, 2}, daerah kawan(kodomain) = [a, b}, dan daerah hasil(range) = {b}. Pada diagram (iii) derah asal(domain) = {1, 2}, daerah kawan(kodomain) = {a, b}, dan daerah hasil(range) = {a,b}. Pada diagram (iv) derah asal(domain) = {1, 2}, daerah kawan(kodomain) = [a, b}, dan daerah hasil(range) = {a,b}.

Bagaimana jika n(A) = 2 dan n(B) = 3, berapa banyak fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat dibuat? Bagaiman jika n(A) = 2 dan n(B) = 4, berapa banyak fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat dibuat? Bagaiman jika n(A) = 3 dan n(B) = 2, berapa banyak fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat dibuat? Bagaiman jika n(A) = x dan n(B) = y, berapa banyak fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat dibuat? Untuk dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut marilah kita selidiki dengan membuat percobaan tentang berapa banyak fungsi yang dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan B dengan n(A) dan n(B) yang berbeda, kemudian hasil percobaannya/penyelidikannya kita tuliskan ke dalam tabel berikut. 

Tabel.2

Contoh cara mengisi tabel.2 adalah sebagai berikut.

Untuk no.1, misalkan A = {1} dan B = {a}, maka n(A) = 1 dan n(B)= 2 dan fungsi yang dapat dibuat hanya ada satu yaitu {(1, a)}. Untuk no.5, misalkan A = {1,2} dan B = {a,b}, maka n(A) = 2 dan n(B)= 2 dan fungsi yang dapat dibuat  ada empat yaitu {(1, a), (2, a)}, {(1, b), (2, b)}, {(1, a), (2, b)}, dan {(1, b), (2, a)}. Atau untuk no.2 jika dibuat diagram panahnya adalah 

Untuk nomor 2, 3, 4, 6, 7, dan 8 silahkan anda coba dan isikan hasil penyelidikannya ke dalam tabel, kemudian silahkan kesimpulannya diisi yaitu pada n(A) = x dan n(B) = y.

Sekarang mari kita perhatikan Tabel.3 hasil pengisian dari Tabel.2 berikut.

Tabel.3

Dari Tabel.3 maka dapat disimpulkan banyak pemetaan/fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah n(B)^{n(A)} dibaca n(B) pangkat n(A).